Высшая математика (математические модели и методы анализа)
Задачи и контрольные вопросы

Задание  1.
   1. Формулы: 12+22+32+...+n2= ;  13+23+ +33+...+n3=  доказать методом ма-тематической индукции.
   2. Посчитав несколько последовательных сумм, выдвинуть гипотезу о формуле суммы:
1)  ; 2)   
и доказать ее методом математической индукции а также не используя его.
   3. Найти представление чисел 12, 33, 77, 127  в двоичной системе. Записать в десятичной сис-теме двоичные числа (1001)2, (1010101)2.
   4. Разложить в десятичные дроби числа 1/6, 1/7, 11/90, 1/13, 2/13, 1/9, 1/17 без помощи кальку-лятора или компьютера.
   5. Записать в виде правильной дроби числа  0.(12), 0.1(23), 0.2(1).
   6. Разложить  1/3  в периодическую двоичную дробь. Проверить полученный результат, поль-зуясь формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Задание  2.
  При вычислениях в задачах с параметрами здесь и далее считать, что  a  число букв в имени студента, b  число букв в фамилии студента, c  число букв в названии места (города, села...) рождения студента.
   1. В банк помещен вклад размером 10 000 (единиц) под 100P = a+b (% годовых). Заполнить таблицу движения капитала (см. стр.52) и найти размер вклада через год при начислении про-центов: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно (с оборотом капитала при начислении).
   2. Рост курса некоторой иностранной валюты предполагается в размере (a+b)/2 (% в год). На-дежный банк предлагает ставки по вкладам в размере 19% годовых по национальной валюте и 12.5%  по иностранной. Решить, в какой валюте выгоднее поместить сбережения в банк (счи-тая предполагаемый рост курса истинным). При каком росте курса иностранной валюты ставка 19% в национальной валюте будет равновесной?
   3. Доказать, что числа   и   иррациональны.
   4*. Задача Сократа об удвоении квадрата (Платон, диалог «Менон»). Построить квадрат с площадью, вдвое большей площади данного квадрата, используя только циркуль и линейку.
   5. Во Франции XVI в. ростовщики давали кредит на условии удвоения суммы долга за 6 лет. Какова была годовая процентная ставка?

Задание  3.
   1. Найти комплексные числа, равные соответственно   .
   2. Представить в тригонометрической форме числа  3   i ,  3  4 i.
   3. Найти комплексное число 
   4. Подтвердить справедливость формулы Бомбелли   .
   5. Методом математической индукции доказать формулы:

Задание  4.
   1. Выбрав  целесообразную  для  данного  числа  форму  (алгебраическую или тригонометри-ческую), найти комплексные числа, равные:  .
   2. Найти необходимые и достаточные условия, чтобы квадрат комплексного числа был: а) действительным числом;  б) чисто мнимым числом.
   3. Пользуясь формулой Муавра при и формулой сокращенного умножения, выразить cos3 через cos и sin3 через sin.
   4. Разделить с остатком: x5+1 на x2+1; x5+2x3*3x2+1 на x3*1.
   5. Пользуясь теоремой о целых корнях, найти корни уравнений: x3  6x + 4 = 0 и x3  15x  4 = 0.

Задание  5.
   1. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки   (все  . Нарисовать эту прямую. Найти ее направляющий вектор, угловой коэффициент и точку (0, b) пересечения с осью Oy.
   2. Написать уравнение двух прямых, проходящих через точку P = (a, b), первая из которых па-раллельна оси  Ox, вторая  оси  Oy.
   3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку P = (a, b), которая также служит осно-ванием перпендикуляра, опущенного из начала координат на искомую прямую.

Задание  6.
   1. Графически на рис. 1

1) найти по заданным: значению х, КПВ и графику u = uy(y) объем совокупного продукта (точнее  соответствующую точку на оси);
2) для произвольного распределенного производства (x0, y0)  D найти область в D, в которой оба продукта производятся в большем количестве (чем x0 и y0); каким может быть объем свободного альтернативного продукта для произвольного свободного x (x  x(y0) = a  r1y0  x0) или, соответственно, свободного y (y   y(x0) = b  rx0  y0); доказать алгебраически и геометрически, что y(x0) = r  x(y0);
   3) в какой точке границы производственных возможностей распределение продуктов находит-ся в пропорции y = b:a. В каком отношении она делит отрезок КПВ?
   2. [5, зад. 3.14]. Как известно лицам, знакомым с творчеством В.Шекспира (или Маттео Бан-делло, у которого, правда, дается другая транскрипция  Капеллетти (Capelletti)), семьи Монтек-ки и Капулетти из Вероны враждовали. Предположим, что клан Монтекки владел однородной землей и мог произвести в год максимально 500 т пшеницы или 2000 т винограда. При этом бы-ли возможны любые комбинации этих продуктов в пределах производительности земли. Собст-венное потребление составляло 350 т пшеницы и 600 т винограда.
   Капулетти владели двумя однородными полями, первое из которых давало максимально 100 т пшеницы или 500 т винограда, а второе  максимально 300 т пшеницы или 900 т винограда. Собственное потребление семьи составляло 200 т пшеницы и 800 т винограда.
   1) Построить КПВ для каждой из семей и выписать их уравнения в координатах. Сколько сво-бодного продукта было у каждой семьи?
   2) Сколько винограда и пшеницы обе семьи могли бы получить дополнительно при том же потреблении, если бы вместо неразумной вражды, приведшей к столь трагическим последстви-ям, семьи изучали КПВ и эффективно объединили свои производственные мощности? За счет чего?
   3. Прямая спроса проходит через точки на осях Q = Q0 = a и P = b. Прямая предложения  че-рез точку на оси   и имеет угловой коэффициент   относительно оси OP. Найти точку равновесия и написать функции спроса и предложения в равновесной форме. (Ответ.    , d  угловой коэффициент функции спроса относительно оси Oy).
   4. Будет ли сходиться процесс коррекции цены и спроса в паутинной модели A при спросе и предложении, определенном в задаче 3? Нарисовать «паутину» на координатной плоскости.
   5. Будет ли сходиться процесс коррекции в паутинной модели B при спросе и предложении, определенном в задаче 3? Нарисовать «паутину» на координатной плоскости для этих данных.

Задание  7.
   1. Разность квадратов расстояний от каждой точки искомой линии до двух данных точек A и B постоянна и равна a. Написать уравнение этой линии в координатах с началом в середине от-резка AB и осью Ox, содержащей отрезок AB.
   2. Указать траекторию движения материальной точки и характер движения, если оно задается равенствами: 1) x = x(t) = t  1, y = y(t) = 2; 2) x = x(t) = at2, y = y(t) = 1; 3) x = x(t) = cos  t, y = y(t) = 0. Затем, введя третью координату  время (t), нарисовать траекторию движения.
   3. Среди прямых ax  by + c = 0, 2ax  2by  c = 0, 3ax + 3by  2c = 0, bx + ay + 2c = 0, указать парал-лельные и перпендикулярные.
   4. Бюджетная линия затрат труда двухпродуктовой фирмы задана уравнением l x + k y = L, а за-трат материалов  уравнением m x + n y = M, где l = a, k = b, m = c, n = (a+b)/2, L = M = a+b+c. Нари-совать область производственных возможностей.

Задание  8.
   1. Решить задачу 1 [1, c.198].
   2. Решить задачу 2 [1, c.198].
   3. Решить задачу 3 [1, c.198].
   4. Решить задачу 4 [1, c.198].
   5. Разобрать решение примера 45 [1, с.171] (и быть готовым решить эту задачу на экзамене).

Задание  9.
   1. Найти с помощью алгебраических дополнений обратную для матриц  и  .
   2. Решить задачу 6 [1, c.198].
   3. Решить задачу 7 [1, c.199].
   4. Методом математической индукции вывести формулу   .

Задание  10.
   1. Решить задачу 8 [1, c.199].
   2. Найти вектор потребления для сбалансированной торговли трех стран со структурной мат-рицей  .
   3. Доказать, если X 2 + I = 0, то и всякая подобная матрица   также будет решением этого уравнения. Далее
7.1  выписать общий вид матрицы   где   (решение уравнения X 2 = I), а   detT  0  произвольная матрица подобного преобразования; затем вычислить   при: a = c =1, b = 0, d = 1; взяв значения a, b, c  как указано в предисловии к заданию2, а d  по своему усмотрению;
7.2  найти общий вид матрицы  = T J T 1 с матрицей   и вычислить при: a = 0, b = 1; a = 2, b = 1; a, b  как указано в предисловии к заданию 2, если a  b.

Задание  11.
   1. Выписав таблицы истинности для формулы   AB, установить ее равносильность формуле  AB.
   2. Доказать первый закон де Моргана, выписав таблицы истинности для формулы  (AB)          A  B.
   3. Проверить таблицей истинности и равносильными преобразованиями, что формула 8:  A (AB)  логический закон.
   4. Проверить таблицей истинности равносильность формул A  B и  A   B  и формул A  B и B  A.
   5. Проверить равносильными преобразованиями и таблицей истинности логические законы A3+ и A4+.

Задание  12.
   1. Равносильными преобразованиями упростить логическую формулу в одной из следующих задач, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы (или остатком от его деления на 12)
   1. ((ABC)  ( B  A))  B. 2. AB  A.    3.  AB  AB.
   4. AB  AB.    5.  AB  B.    6. (AB)  (BA).
   7. ((A B) A) A.    8. (AB)(BC)(AC). 9. (AB)((BC)(AC)).
10. (A  (B  C))  ((AB)  (AC)).        11. (AC)(BC)(AB) C.
12. (AC)(BD)( C D)  A B.
   2. Выписать таблицы истинности (Куайна) для логической формулы в одной из следующих задач, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы (или остатком от его деления на 15)
   1.  (ABC)   A B C.  2.  (AB)   A B.      3.  A(ABA).
   4. AB  B A.      5. (AB)(BC)  (AC). 6.  (AB)(BC)(AC).
   7.  (A A).      8. A(BC)  (AB)(AC). 9. A(BC)  (AB)(AC).
10. (AB)B  B.     11. (AB)B  B.    12. AB  AB.
13. ( AB)(A B).     14. (AB)(BA).    15. ( AB)( A B)A.
   3. Доказать, что вопрос, указанный в примере 65, действительно приводит к «двери свободы».
   4. Решить задачу, выбрав ее в соответствии со своим порядковым номером в списке группы (или остатком от его деления на 10): 1. Задача 4.1; 2. Задача 4.2; 3. Задача 4.3; 4. Задача 4.4; 5. Задача 4.5; 6. Задача 5; 7. Задача 9.1; 8. Задача 9.2; 9. Задача 9.3; 10. Задача 9.4. Все  из [1, гл 3].

Задание  13.
   1. За сколько лет удвоится вклад при p (мес) = 0.02, 0.01, (a+b+c)/3%?
   2. Нарисовать график функции   при A = a  b, B = b  c, C = c  a.
   3. Подготовить к сдаче второй квант домашних заданий.
Задание  14.
   1. Выписать таблицы сложения и умножения Z5 и Z6.
   2. Изучить примеры 1417 [1, c.6970].
   3. Изучить решение примера 67 (2,3) [1, c.228].
   4. Доказать равенство в одной из следующих задач, выбрав ее в соответствии со своим поряд-ковым номером в списке группы (или остатком от его деления на 6)
1)  A \ B = A \ AB;              4)  (A \ B) \ C = A \ (BC);
2)  A(B \ C) = AB \ AC = AB \ C = AB \ BC; 5)  A \ (B \ C) = (A \B)AC;
3)  AB \ C = (A \ C)(B \ C);           6)  ABA = B+(A \ B) = AB.
Напомним, что отсутствующий между множествами знак означает пересечение.

Задание  15.
   1. Герой детективного фильма для того, чтобы выбраться из западни, должен быстро выско-чить из ангара, в котором он спрятался, вскочить в автомобиль, стоящий в   м от закрытых ворот, и, разогнав его с места, выбить передним бампером ворота. Автомобиль будет разгонять-ся с постоянным ускорением   Какую скорость автомобиль будет иметь при столкнове-нии с воротами? Для того чтобы автомобиль выбил дверь, его скорость должна превышать 15.4   а для того чтобы повреждения автомобиля при столкновении позволили ему продолжить движение и уйти от возможной погони, его скорость при столкновении не должна превысить 18.1   Сможет ли герой детектива вырваться из западни?
   2. Прямолинейное перемещение тела S(t) в каждый момент времени t определяется по фор-муле   Определить: 1) в какой момент времени ускорение a(t) равно нулю; 2) какова в этот момент скорость тела v(t).
   3. Цена большого бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Показать, что при разделе-нии бриллианта на две части, его стоимость всегда уменьшается. Когда понижение стоимости будет максимальным?
   4. Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а издержки S(x) при этом задаются зависимостью S(x) = ax + bx3 (a<p). Найти оптимальный для производителя объем вы-пуска продукции и соответствующую ему прибыль, вычислить при p = 2a.
   5. Нарисовать эллипс производственных возможностей двухпродуктовой фирмы с общим числом работников L = a+b, если в стандартной модели (Лекция 15) l 2 = a и k2 = b.

Задание  16.
   1. Найти производные функций y = ln(a+bx), y = , y = eax cos2x.
   2. Изучив пример 97 [1, c.306], решить следующую задачу. Зависимость функции спроса D и предложения S от цены имеют вид: D = 7  p и S = p + 1. Найти: 1) равновесную цену; 2) эластич-ность спроса и предложения для этой цены; 3) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 5% от равновесной.
   3. Найти коэффициент эластичности степенной функции u = x r.
   4. Для функции затрат C = aQ+b, Q > 0 (a,b > 0) найти функции средних и предельных затрат и нарисовать графики всех трех функций на единой координатной плоскости.

Задание  17.
   1.  Задача Уилсона. Завезенная на склад партия товара в количестве Q (ед.) отпускается поку-пателям с постоянной скоростью u (ед. за ед. времени). Расходы за хранение ед. товара в ед. времени равны w; накладные расходы (аренда и т.п.) за время хранения всей партии товара рав-ны K. 1. Найти время T до опустошения склада и функцию Q(t)  количество товара на складе в момент времени t и нарисовать ее график. 2. Найти расходы за хранение   и среднее количество товаров на складе   3. Считая, что средние расходы E(Q) в ед. времени складываются из расходов за хранение w1(Q) = wQср и накладных k1(Q) = k / T, найти их минимальное значение. При каком значении Q0 оно достигается и чему равны w1(Q0) и k1(Q0).
   2. Будет ли характерный вид функции предельных затрат (с минимумом на АС) обязательным? Для ответа рассмотреть функцию затрат со средними затратами AC (Q) = aQ+b. Найти C(Q) и МC (Q) и нарисовать графики всех трех функций на единой координатной плоскости.
   3. Для функции затрат с MC = MCmin + a (Q  Qm)2, Q > 0 (MCmin, a, Qm > 0) подтвердить интегри-рованием, что C(Q) =  .
   4. Если C(Q) = AQ2 + BQ + f  функция затрат однопродуктовой фирмы, а p  стоимость едини-цы производимого продукта, то I = pQ  AQ2 + BQ + f  функция доходов (в предположении, ко-нечно, I > 0). Представить функцию доходов в виде I = Imax  A(Q  Qm)2, найдя характерные точки Imax и Qm. Найти также точку пересечения I(Q) с осью ординат.
   5. Показать, что при любой функции затрат точка минимума АС всегда лежит на графике МС.
   6. Кривая нормы доходов населения (Лоренца) [5, 15.36]. Если в государстве 60% беднейших владели 20% совокупного дохода, то такое распределение считалось классическим примером социальной несправедливости. В середине ХХ в. оно было характерно для развивающихся стран. Построить по этим данным кривую Лоренца и найти коэффициент Джинни. Во сколько раз средний доход беднейших слоев меньше среднего дохода остальной части населения.

Задание  18.
   1. [5, 15.39]. На основании следующих статистических данных построить кривую Лоренца.
% получаемых совокупных доходов 20 50
% домашних хозяйств 40 70
Найти коэффициент Джинни и относительный средний доход каждой группы.
   2. Найти решения дифференциального уравнения  .
   3. Решить уравнение   .
   4. Найти общее решение системы

   5. Найти общее решение непрерывной модели сражения.

Задание  19.
   1. Для функции u = sin(xy)/x найти  . Что можно сказать о  ?
   2. Найти частные производные функций: 1)  ,  ; 2)  ; 3)  ;              4)   .

Задание  20.
   1. Для функции спроса x = A  3p1 + 2p2 + 0.25M, где A = a + b + c, p1 = a, p2 = b, найти коэффициент эластичности по ценам и доходу. Найти также коэффициент перекрестной эластичности. При каких М большинство этих характеристик будут положительными?
   2. Рассмотрим функцию u (x, y) = x2 + y2. Нарисовать ее линии уровня, найти частные производ-ные, дифференциал, градиент и производную по направлению (2,1). Вычислить их в точке (3,2). Показать, что градиент перпендикулярен линии уровня.
   3. Найти дифференциал функций: 1)  ; 2)  .
   4. Найти производную   неявной функции   и вычислить ее в точке x = 1.
   5. Найти дифференциалы  du  и  d2u  функции  u(), равной соответственно
а)
б) xy2z3.
В каких точках он существует?

Задание  21.
   1. Исследовать на экстремум функции    .
   2. Задача пошива рюкзака. Рассмотрим цилиндр радиуса  r  и высоты  l. Найти соотношение  r  и  l, обеспечивающие минимальную площадь поверхности (и стоимость материалов для пошива рюкзака) при заданном объеме. Забавно, но результат с большой точностью подходит к формам старых советстких рюкзаков.
   3. Найти точки условного экстремума функции x2 + y2 = 1 при условии  , определить его характер и найти значениязначения в них функции  u().
   4. [6: 10.2.1]. Фирма производит товары двух видов. Известно, что для выпуска этих товаров в количествах x и y соответственно необходимо произвести денежные затраты в объеме C = 2x + y + 1. Вся произведенная продукция продается на рынке по ценам p1 и p2, котрые снижаются при увеличении предложения товаров на рынке: p1 = 8  x, p2 = 17  2y. Требуется:
   а) определить оптимальные объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимум прибыли фирмы;
   б) определить оптимальные объемы выпуска продукции, обеспечивающие максимум прибыли фирмы, при условии, что суммарные издержки равны 8 (ед.).
   Чему равна при этом выручка от продажи товара?

Задание  22.
   1. Пусть A, B, C  произвольные события. С помощью операций   найти выражение для событий, состоящих в том, что произошло:
а) только событие А;
б) ровно одно событие;
в) не менее двух событий;
г) ровно два события;
в объединениях выделить несовместные слагаемые.
   2. Найти вероятность появления следующего события при бросании трех правильных монет:
а) на первой монете выпал герб;
б) выпало ровно два герба;
в) выпало не более двух гербов.
   3. Задача («парадокс») де Мере. Имеются три правильные игральные кости. Почему выпадение в сумме числа 11 более вероятно, чем 12, хотя оба разбиваются в сумму 6 способами:
   
   Найти эти вероятности.
   Эта задача имеет следующую историю. Ее сформулировал французский дворянин шевалье де Мере, состоявший в той же аристократической научной компании, что и Б.Паскаль. Де Мере считал, что выпадение в сумме на трех костях 11 и 12 равновероятно, поэтому они должны вы-падать одинаково часто, хотя, естественно, жизнь опровергала это предположение и 11 выпада-ло стабильно чаще. Письменное объяснение этого мнимого парадокса дал великий Паскаль.
   4. Заполнить таблицу распределения случайной суммы очков на двух игральных костях.

Задание  23.
   1. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на разные месяцы года, считая, что рождение любого из них приходятся на каждый месяц с равной вероятностью.
   2. Найти вероятность того, что выборка с возвращением объема k из N различных элементов содержит заданный элемент. Все выборки упорядочены и равновероятны.
   3. Найти вероятность того, что выборка без возвращения объема k из N различных элементов содержит заданный элемент. Все выборки упорядочены и равновероятны.
   4. Сколько распределений Бозе-Эйнштейна, при которых каждый класс не пуст?

Задание  24.
   1. Баскетболист дважды совершает по два штрафных броска. Считаем, что броски независимы с вероятностью попадания р в каждом. Какова вероятность не менее трех попаданий? Вычис-лить ее при: 1) p = q; 2)  .
   2. Вероятность хотя бы одного появления события A при двух независимых испытаниях P = 0.84. Испытания считаются успешными, если A происходит хотя бы раз в трех испытаниях. Вы-числить вероятность успеха в испытаниях. Какова вероятность того, что событие A в первый раз произойдет на третьем испытании?
   3. Симметричную монету бросают 6 раз подряд. Найти  вероятности событий:
1) А: выпадет 0,1,5,6 гербов, В: дополнительное событие;
2) А: выпадет 0,1,2,5,6 гербов, В: дополнительное событие.
Какая вероятность больше при p = q?
   4. Проверить независимость следующих событий:
A:  в 4-х испытаниях Бернулли в первый раз выпадет герб,
B:  в 4-х испытаниях Бернулли выпадет нечетное число гербов.

Задание  25.
   1. Найти вероятность того, что в семье с двумя детьми оба ребенка мальчики в предположении
     а) старший ребенок мальчик,
     б) по крайней мере один из детей – мальчик.
   Считаем каждое сочетание детей равновероятным.
   2. Известно, что ответом в задаче, предложенной студенту, является одно из чисел 1,…, с, и студент в силу своей подготовки выбирает правильный путь решения задачи с вероятностью  , и тогда обязательно получает правильный ответ. Если же он ошибается в выборе пути решения, то в результате может получиться любое число от 1 до c с равной вероятностью.
   Какова вероятность гипотезы Н, что студент правильно решил задачу при условии, что он по-лучил правильный ответ?
   3. Доказать по индукции формулу умножения вероятностей: P(A1...An) = P(A1)P(A2A1)...P(An A1A2...An1).
   4. В каком случае событие (случайная величина) независимо само от себя?

Задание  26.
   1. Показать, что   т.е.   и напротив,  .
   2. Пусть p,X1,X2,... независимы, все  , p имеет геометрическое распределение с пара-метром р. Доказать, что   , то есть сумма экспоненциальных с.в. в “геомет-рическом числе” будет экспоненциальной с.в. с параметром ap (использовать формулу полной вероятности подобно решению примера 111).
   Сформулировать в форме рандомизации.
   3. Найти математическое ожидание, второй момент и дисперсию с.в. Бернулли. Используя свойства ожидания и дисперсии, найти M  и D .
   4. Задача о встрече. Пара влюбленных работает в разных, но близко расположенных фирмах. Обеденный перерыв длительностью в один час, с 13 до 14 часов, они стремятся использовать для встречи друг с другом в близлежащем кафе. Но в силу производственных причин они уходят на перерыв в случайное время и, придя в кафе, каждый может ждать другого полчаса (варианты: 20 или 40 мин.). Какова вероятность того, что они встретятся? Точно сформулировать эту задачу и вычислить вероятности во всех трех случаях (использовать решение примера 108).
   5. Доказать, что cov(G,G2) = 0.

Задание  27.
   1. Вероятность поражения мишени при одном выстреле   Стрелок получает приз в том случае, если он поражает мишень с первого или второго выстрела. Найти вероятность по-лучения приза. Найти распределение, ожидание и дисперсию числа полученных призов двумя такими стрелками.
   2. Дискретная равномнрная с.в. принимает значения 0, 1,..., n. Найти: ф) ее мотеметическое ожидание и дисперсию; ее ожидание при условии, что значение 0 не принимается.
   3. Капитан Жеглов и лейтенант Шарапов, герои фильма «Место встречи изменить нельзя», в поисках подходящей кандидатуры Ани, подруги «Фокса», просматривают картотеку преступниц. Каково среднее число карточек, которые должны посмотреть Жеглов с Шараповым до первого успеха в поисках подходящей кандидатуры Ани, если вероятность обнаружения подходящей кандидатуры равна для каждой карточки  ?
   4. Пусть в течение гарантийного срока, равного двум годам, ломается 5% компьютеров. Счи-тая, что срок службы компьютера – экспоненциально распределенная случайная величина и ве-роятность двухлетней безотказной работы равна частоте, вычислить. а) ее математическое ожи-дание;  б) вероятность того, что компьютер проработает не менее 10 лет. Какова размерность параметра a?

Задание  28.
   1. В результате аварии энергетического блока вся система связи центра управления вынуждена перейти к использованию запасного генератора. Вся система имеет n = 200 потребителей, неза-висимых и близких по характеристикам. За время ремонта энергоблока каждый потребитель из-расходует в среднем а = 180 единиц энергии со среднеквадратическим отклонением  = 20.
   Считая, что за время ремонта запасной источник сможет обеспечить 44000 условных единиц энергии, установить, можем ли мы быть уверены на 95%, что энергии хватит всем?
   2. Задача о конкуренции. Две конкурирующие железнодорожные компании имеют по одному поезду, курсирующему между двумя городами, время отправления и прибытия их почти совпа-дают. Оба поезда примерно одинаково оборудованы и предоставляют примерно равный объем услуг.
   Предположим, что n = 1000 пассажиров независимо и наугад с равной вероятностью выбира-ют поезд. Каково должно быть число мест в каждом поезде, чтобы их хватило всем пассажирам, считая что каждая компания выбирает уровень риска равный  (=0.01, 0.1, 0.2)? Получить от-вет при уточняющей поправке в предельной теореме Мувра-Лапласа и без нее. Какова добавоч-ная поправка в аргументе нормального распределения?
   3. Какова вероятность рk того, что из n = 500 человек, выбранных наугад, k человек родились в день нового года? Число дней в году считать равным 365, вычислить рk для k = 0, 1, 2.
   Сравнить точные значения рk с приближенными по теореме Пуассона и вычислить абсолют-ные погрешности  .

Задание  29.
   1. Стрелок высокого класса производит выстрел по вертикально висящей прямоугольной ми-шени со сторонами 2a по горизонтали и 2b по вертикали. Стрелок целится в центр мишени. Найти вероятность того, что стрелок попал в мишень, если среднеквадратическое отклонение по горизонтали x = a/3, а по вертикали y = b/2.5.
   2. Экзамен по математике в первом семестре закончился со следующими результатами: (см. ведомость). Считая оценки студентов независимыми и одинаково распределенными случайны-ми величинами, оценить математическое ожидание и дисперсию этой величины. Рассмотрев случайную величину с такими же характеристиками, оценить число студентов, рискующих по-лучить неудовлетворительные оценки на следующем экзамене.
   3. Доказать, что   несмещенная и состоятельная оценка для m2 = MX2.

Задание  30.
   1. Доказать счетность следующих множеств:
1)  множества нечетных натуральных чисел;
2)  множества целых чисел;
3)  множества нечетных целых чисел.
   2. Доказать геометрически и алгебраически, что любые два отрезка равномощны.