Сначала о самом Зеноне

Зенон Элейский (490-430 г.г. до н. э.)
Принадлежит к элейской школе натур-философов, основанной Ксенофонтом Колофонским. Именно элейцы поставили вопрос о том, как можно мыслить бытие. Главными представителями были Парменид и Зенон.Благодаря элеатам вопрос о соотношении бытия и мышления становится предметом рефлексии. Прежде натурфилософы мыслили бытие не ставя такого вопроса. Теперь же появляется стремление логически прояснить те понятия, которые раньше пользовались НЕкритически.
Жизнь Зенона
Зенон был политическим деятелем, сторонником демократии и участвовал в борьбе с тираном Неархом. Борьба его закончилась неудачей. Сам Зенон был схвачен, его долго пытали, чтобы выдал сообщников. Диоген Лаэрций указывает: "Зенон сделал вид, что поддался пыткам и попросил тирана подойти поближе. Тиран наклонил ухо к устам Зенона, тот вцепился в ухо и держал до тех пор, пока слуги не закололи Зенона". По другим данным, Зенон откусил свой язык и выплюнул его в лицо тирана.
Диалектитка
Способ доказательства - "от противного". В некотором роде можно считать зачинателем диалектики (с этим, кстати, можно посоприть). Диалектики как искусства ведения спора. Зенон пытался доказать справедливость положений о бытии, показывая, что противоположная точка зрения абсурдна. Аргументация - допуская, что движение и множественность вещей существуют, мы приходим к абсурдным выводам.

непосредственно сабж
Апории Зенона
Будучи любимым учеником ( и любовником, как сказал бы Михайловский) Парменида, Зенон пытался укрепить учение учителя рядом (прославленных уже в античности) доводов - апорий. Апории ( затруднение, недоумение) - первые парадоксы, возникшие в связи с понятием бесконечного. Всего их было 47 (опять же, разные источники говорят по-разному). До нас дошло 9. Классических 5, в которых Зенон анализирует понятия множества и движения.

Аргументация против множества вещей
Допустим, что сущее - множественно, следовательно состоит из частей, следовательно его можно делить на ещё более мелкие части, следовательно сущее состоит из далее не делимых элементов, следовательно, если неделимые элементы умножить на бесконечность, получится бесконечно большое тело, то есть каждое тело бесконечно велико, что невозможно. А если делить до бесконечности, то получится небытие, а его не существует, как говорит само слово. Следовательно, частей у сущего нет, то есть нет множественности вещей, так как всякая величина либо бесконечно велика, либо бесконечно мала; конечной быть не может.

Аргументация относительно пространства
Если вещь существует, то она существует в пространстве. Это пространство существует, соответственно, в другом пространстве и так далее, то есть до бесконечности. Но  принимать бесконечное число пространств невозможно, следовательно нельзя сказать, что вещь существует в пространстве.

Апории против движения
"Дихотомия"
Утверждает, что движение не сможет начаться. Деля до бесконечнеости, мы получаем, что тело не сможет ни дойти до конца, ни начать движение. Ведь за конечный промежуток времени нельзя пройти бесконечный участок, то есть кчасток, состоящий из бесконечного ичсла точек.

"Ахиллес и черепаха"
Допустим, что движение существует и представим себе, что А. пытается догнать черепаху. А. бежит за ней и приходит в точку, где была черепаха в момент начала им движени. Но черепаха тоже тоже прошла какое-то расстояние. А. опять приходит в ту точку, где находилась черепаха, но она уходит дальше и так далее. А. черепаху не догонит, следовательно он будет стремиться к той точке, где находилась черепаха, а она с меньшей скоростью, но будет уходить.

"Стрела"
В каждый момент времени стрела в воздухе занимает какое-то место в пространстве, то есть покоится в каком-то месте пространства. Следовательно, движение есть смена состояния покоя, следовательно во время полёта стрела покоилась.

"Стадий"
Существует три тела одинаковой длины. За одно и то же время 2 движущихся тела прошли какое-то расстояние, то есть каждая точка тела прошла ОДНО расстояние относительно неподвижного тела и ДВА относительно движущегося. Следовательно, тела двигались одновременно с двумя разными скоростями, но это невозможно.
                                     
                                                                    _      _      _
                                       < ------------------- |_|   |_|    |_|---------------->
                                                       
Апории Зенона как гносеологическая проблема
После глубокого осознания выдвинутых Зеноном апорий вернуться к прежнему опрированию математичскими понятиями было уже невозможно. Суть апорий Зенона - чувственно воспринимаемую картину мира характеризует непрерывность, множественность и движение. Но картина недостоверна. Истинная картина постигается постредством мышления. Попытка мыслить множество приводит к противоречию. Следовательно, множественность немыслима. То же с мышлением движения. Появление противоречий рассматривается Зеноном как свидетельство ложности исходного допущения и в то же время свидетельсвтует об истинности противоположных ему посылок, то есть о едиснтве, непрерывности, непиодвижности мыслимого бытия. Выводы Зенона парадоксальны в том смысле, что мы не можем без противоречия мыслить движение ни в том, ни в другом случае, то есть не можем взаимнооднозначно соотносить друг с другом точки пространства с моментом времени. Возникающие трудности не касаются движения как такового, они относятся к нему лишь постольку. поскольку движение происходит во времени и пространстве. Зенон: "Движения нет, потому что нельзя его понять". Мы же фиксируем его с помощью органов чувств.